Bollen verpak je (bijna) altijd het efficiëntst als worst

Onderzoekers van de Universiteit Utrecht en de Universiteit Twente hebben het wiskundige sphere packing problem onderzocht aan de hand van natuurkundige experimenten en computersimulaties. De studie laat zien hoe een eindige hoeveelheid bollen het efficiëntst kan worden verpakt en vult zo het wiskundige bewijs hiervoor aan. De wetenschappers publiceerden de studie op 30 november in het wetenschappelijk tijdschrift Nature Communications.

Hoe vervoer je 50 oliebollen zo efficiënt mogelijk naar het Nieuwjaarsfeestje van je vrienden? In een lange worstvormige zak, lieten wiskundige berekeningen decennia geleden al zien. Terwijl je zou verwachten dat je een grote hoeveelheid bollen het best strak op elkaar kunt verpakken in een cluster, laat de wetenschap zien dat dit in werkelijkheid niet zo is. Niet voor élke hoeveelheid bollen, in ieder geval.

Er is iets geks aan de hand: de worstvormige zak als beste verpakking van bollen geldt alleen voor een hoeveelheid tot 55 bollen: voor 56 bollen is een cluster wél handiger. Een plotselinge omslag die wiskundigen ook wel de ‘worstcatastrofe’ noemen.

Een oneindig aantal bollen

De worstcatastrofe is deel van het sphere packing problem: een wiskundig vraagstuk dat wetenschappers al eeuwen bezighoudt. Het vraagstuk draait om de vraag hoe je niet-overlappende bollen zó kunt rangschikken dat de ruimte tussen de bollen zo klein mogelijk is, en het geheel van bollen en lucht dus zo min mogelijk ruimte inneemt.

Wat maakt deze kwestie zo ingewikkeld? Dat zit zo. Toen wetenschapper Johannes Kepler zich in 1611 over het sphere packing problem boog, ging hij in zijn berekeningen uit van een oneindige hoeveelheid bollen, terwijl je in de realiteit eigenlijk altijd met een eindige hoeveelheid bollen te maken hebt.

Experimenten in het lab

Hoe zit het dan als je 40 bollen moet verpakken? Of 94? Dat zocht het team van Marjolein Dijkstra uit. Niet met wiskundige berekeningen, maar met natuurkundige experimenten en computersimulaties. De onderzoekers stopten, zowel in het lab als in de simulaties, bolvormige nanodeeltjes (colloïden) in een microscopische, vervormbare container: een vesicle. Deze ‘zakjes’ konden ze vervolgens in realtime onder de microscoop bekijken.

Door zowel de hoeveelheid colloïden in de vesicles als de druk op het geheel van buitenaf te variëren, brachten de onderzoekers in kaart hoe de rangschikking van de bolletjes veranderde onder verschillende omstandigheden.  

Simulaties

Het testen van zo’n wiskundige theorie in een lab kan erg ingewikkeld zijn, ondervond ook het team van Marjolein. “De vesicles bleken bij een hoeveelheid van negen bolletjes steeds te knappen. Daardoor konden we niet testen wat er met de stapeling van de bolletjes zou gebeuren als we er meer dan negen in zouden stoppen”, vertelt Dijkstra. In de computersimulaties konden de eigenschappen van de vesicles zo worden aangepast dat ze niet zouden knappen bij een grotere hoeveelheid bollen. De onderzoekers bestudeerden zo welke vorm de vesicles aannamen tot bij een hoeveelheid van 150 bollen.

Worstvormige verpakkingen

Wat bleek? De simulaties lieten zien dat je bollen het best kunt verpakken in een worstvormige zak, tot en met een hoeveelheid van 55 bollen. Marjolein was hier zelf ook verbaasd over: “Ik heb zelfs tekeningetjes gemaakt van 55 bollen op een rij; je hebt niet het idee dat dat de meest compacte cluster is.”

Wanneer je echter 56 bollen wil verpakken, verandert de efficiëntste manier van verpakken wél in een compacte, driedimensionale cluster. En voor 57 bollen is het weer een worst. Terwijl in de wiskunde wordt beweerd dat voor 58 en 64 bollen een worst eveneens de efficiëntste pakking is, lieten de onderzoekers in de huidige studie zien dat compacte clusters eigenlijk beter werken. De bevindingen van de onderzoekers laten zien dat de worstcatastrofe niet alleen aan te tonen is met wiskunde, maar ook in een (gesimuleerde) experimentele setting.