Samen krijten: zuivere wiskunde is teamwork

Wiskundige Peter Koymans ontvangt een ERC Starting Grant van 1,5 miljoen euro van de European Research Commission (ERC). In 2024 kwam hij naar de Universiteit Utrecht met een prestigieuze Veni-beurs. Nu, twee jaar later, krijgt hij de kans om met een team vijf jaar lang aan zijn eigen onderzoeksproject te werken. Koymans is een specialist op het gebied van aritmetische statistiek. Een jong onderzoeksgebied binnen de pure wiskunde dat de basis vormt voor moderne technologische toepassingen, waaronder digitale veiligheid.

Het is acht uur ’s ochtends in Chicago als Peter Koymans op het scherm verschijnt voor het interview. Hoewel de zomer in volle gang is, houdt Koymans geen vakantie: hij bezoekt zijn collega en goede vriend Alexander Smith om samen te werken.

“We hebben een tijd geleden een wiskundig probleem ontdekt waarvan we denken dat we het met de huidige technieken kunnen oplossen. We hebben zelfs al een idee hoe we het gaan aanpakken”, zegt Koymans. Wie denkt dat wiskunde vooral een individuele aangelegenheid is, heeft het mis. Deze week draait vooral om samen uitproberen: dag in dag uit voor een krijtbord staan en spelen met grove uitwerkingen. Krijten, noemen ze het zelf. Het is een heel intuïtief proces. De details komen later. “In deze fase heeft samenwerken enorme meerwaarde”, aldus Koymans, “omdat wiskunde breed is en je elkaar aanvult met verschillende kennis en ervaringen.”

Makkelijk te begrijpen, moeilijk te bewijzen

Hoewel zijn werk misschien ongrijpbaar lijkt, koos Koymans naar eigen zeggen juist voor de meer toegankelijke wiskunde: de getaltheorie, waar het draait om de studie van gehele getallen. Binnen deze ‘zuivere’ tak van de wiskunde bestaan nog veel onopgeloste vraagstukken waarbij de meesten zich waarschijnlijk wel iets kunnen voorstellen. Het zijn de vraagstukken waar Koymans, die in 2019 de KWG-prijs voor beste wiskundepromovendus ontving, zich het liefst over buigt. 

Neem bijvoorbeeld het probleem van de priemtweeling. Een priemtweeling is een priemgetal dat opnieuw een priemgetal oplevert als je er 2 bij optelt. Het getal 5 is een priemtweeling, want 5 plus 2 is 7: ook een priemgetal. De vraag is of er oneindig veel priemtweelingen zijn. En hoewel iedereen er wel zo’n beetje van overtuigd is dat dat inderdaad zo is, bestaat er verre van bewijs voor.

Goldbachs vermoeden is nog zo’n probleem dat eenvoudig te begrijpen is, maar extreem moeilijk te bewijzen. Het is een van de bekendste onopgeloste problemen uit de getaltheorie en stamt uit 1742. Hier draait het om de vraag of je elk even getal groter dan 2 kunt opschrijven als de som van twee priemgetallen. Hoewel ook hier het vermoeden bestaat dat dat inderdaad zo is, heeft tot dusver niemand dit aangetoond.

Uiteindelijk levert dit project een uitgebreider toolbox op waarmee we meer inzicht krijgen in de onderliggende structuren van gehele getallen

Eerdere doorbraken

Koymans bewees al eerder dat hij in staat is tot een doorbraak. In 2022 bijvoorbeeld.  Toen leverde hij, samen met collega Carlo Pagano, een bewijs voor het Stevenhagen vermoeden dat al bijna dertig jaar onopgelost was. In 1993 voorspelde Peter Stevenhagen, Leidse wiskundige en promotor van Koymans, heel precies hoe vaak een specifieke vergelijking, de negatieve Pell-vergelijking, kan worden opgelost met een heel getal. Maar, hij kon deze frequentie niet bewijzen. Tijdens corona troffen Koymans en Pagano elkaar dagelijks op het Max-Planck-Institut in het Duitse Bonn waar ze uiteindelijk samen het sluitende bewijs vonden.

Wiskundige toolbox

Het ERC-project van Koymans vloeit voort uit een andere belangrijke doorbraak. Niet van hemzelf, maar van eerdergenoemde vriend en collega, Alexander Smith. Hij bewees in 2017 aan Harvard een deel van de Cohen-Lenstra-heuristieken. Dat is een familie van vermoedens over de statistische verdeling van bepaalde klassengroepen. 

Smith slaagde hierin door technieken uit de aritmetische statistiek te introduceren. Dat is een jonge tak binnen de getaltheorie waarin wiskundigen niet willen bewijzen of iets klopt, maar hoe vaak iets klopt of van toepassing is. Smiths aanpak inspireerde andere wiskundigen, wat vervolgens zorgde voor een golf aan progressie, waaronder het bewijs voor het Stevenhagen vermoeden; Koymans en Pagano gebruikten ook technieken uit de aritmetische statistiek.

Toch zijn de onderliggende technieken nog niet goed uitgedacht. En dat is precies wat Koymans in dit ERC-project wil gaan doen. Hij wil bestaande technieken verbeteren, maar ook nieuwe introduceren. Uiteindelijk moet dit een uitgebreide toolbox opleveren waarmee vermoedens kunnen worden opgelost en de wereld van de onderliggende structuren van gehele getallen beter zichtbaar wordt.