Promotie: Synthetic modular forms

LET OP: Als een kandidaat een lekenpraatje houdt, start de livestream een kwartier eerder.

In de wiskundige discipline homotopietheorie bestuderen we meetkundige objecten door te doen alsof deze allemaal flexibel en uittrekbaar zijn. Omdat wiskundigen doorgaans objecten bestuderen die te ingewikkeld zijn om te visualiseren (bijvoorbeeld oneindig-dimensionale objecten), gebruiken ze andere middelen om ze te ‘zien’ en te bestuderen. Het belangrijkste gereedschap hiervoor is algebra. Kort gezegd is het makkelijker om algebraïsche vergelijkingen te manipuleren, dan om oneindig-dimensionale objecten te visualiseren.

Een object dat al lange tijd wordt bestudeerd in homotopietheorie, zijn topologische modulaire vormen. Hoewel het onmogelijk is om deze vormen te visualiseren, en hoewel het in vele opzichten een mysterieus object blijft, is het een ongelofelijk nuttige methode gebleken om decennia-oude vragen mee te beantwoorden. Dit komt doordat het in een mooi midden zit tussen de complexiteit en het haalbare.

Een fundamentele berekening rondom topologische modulaire vormen wordt al jaren gebruikt, maar een bewijs ervan is nooit volledig verschenen in de literatuur. Dit proefschrift geeft een bewijs, gevonden in samenwerking met Christian Carrick en Jack Davies, van de zogeheten Gap Theorem over topologische modulaire vormen. Het wiskundige gereedschap dat we hiervoor gebruiken is de recente theorie van synthetische spectra. Dit zijn objecten die andere objecten ophakken in 'laagjes', die elk makkelijker te bestuderen zijn dan het object als geheel. We introduceren een object dat we synthetische modulaire vormen noemen, en gebruiken dit om de stelling te bewijzen. Hiernaast bevat dit proefschrift ook een introductie tot synthetische spectra gericht op wiskundigen, omdat er tot dusver weinig lesmateriaal beschikbaar is over dit onderwerp.