Promotie: Randomness and symmetry of polynomials

LET OP: De kandidaat houdt een lekenpraatje, hierdoor start de livestream een kwartier eerder.

In dit proefschrift bestuderen we verschillende onderwerpen binnen de Galoistheorie. Dit is een discipline in de wiskunde die zich van oudsher bezighoudt met de oplosbaarheid van polynoomvergelijkingen met behulp van formules. Een bekend voorbeeld is de abc-formule voor kwadratische vergelijkingen. Voor derde- en vierdegraadsvergelijkingen werd in de zestiende eeuw bewezen dat er ook formules bestaan voor de oplossingen. Bij vergelijkingen van hogere graad bestaat een dergelijke formule vaak juist niet, zoals rond 1800 bleek.

De Galoisgroep, het centrale studieobject binnen de Galoistheorie, beschrijft of een gegeven vergelijking oplosbaar is met een formule, en – in het geval dat dat niet kan – in 'welke mate' dat dan niet lukt. Preciezer gezegd beschrijft de Galoisgroep welke relaties bestaan tussen de oplossingen van de vergelijking. Zulke relaties, die op het oog niet makkelijk zichtbaar zijn, worden symmetrieën genoemd. Zelfs zonder de oplossingen te kennen, blijkt dat we vaak wel kunnen beschrijven wat de symmetrieën zijn.

In de eerste twee delen van dit proefschrift bestuderen we op verschillende manieren wat de Galoisgroep van een willekeurige polynoomvergelijking is. Met andere woorden, als je zomaar een vergelijking verzint, is er dan een goede gok hoeveel symmetrieën er tussen de oplossingen zijn? Wiskundigen denken dat de Galoisgroep bijna altijd zo groot mogelijk is, wat betekent dat er geen verborgen symmetrieën zijn. We bevestigen deze intuïtie in bepaalde gevallen, en dragen zo bij aan een begrip van deze inmiddels ruim honderd jaar oude vraag.

In het laatste deel van het proefschrift kijken we naar bepaalde vergelijkingen waarvan we juist wél weten wat de Galoisgroep is. We bestuderen deze vergelijkingen met behulp van een andere notie van complexiteit – de zogeheten Mahlermaat.