Promotie: Dynamics of number expansions and translation surfaces

LET OP: Als een kandidaat een lekenpraatje houdt, start de livestream een kwartier eerder.

In dit proefschrift gebruiken we een gebied van de wiskunde genaamd dynamische systemen om twee soorten objecten te bestuderen: getaluitbreidingen en translatieoppervlakken. De meest bekende manier om getallen weer te geven is via decimale uitbreidingen, bijvoorbeeld 51 of 3,14159.... Er zijn echter verschillende andere uitbreidingen van getallen, waaronder binaire uitbreidingen, Lüroth-reeksuitbreidingen en kettingbreuken.

Ons eerste hoofdstuk bouwt een brede, unificerende theorie voor een grote klasse nieuwe algoritmen voor kettingbreuken. Binnen deze theorie vinden we verschillende goed bestudeerde algoritmen; een nieuwe subfamilie van superoptimale kettingbreuken met willekeurig goede convergentie- en benaderingseigenschappen en een unificerend raamwerk om verschillende oude en nieuwe resultaten voor bepaalde rationale benaderingen van irrationale getallen te bewijzen.

Ons tweede hoofdstuk introduceert een nieuwe familie van afbeeldingen, genaamd scheve symmetrische gouden afbeeldingen, die elk een uitbreiding van elk getal in zijn domein genereren. Met behulp van hulpmiddelen uit de ergodische theorie bestuderen we de relatieve frequenties van getallen die typisch voorkomen in deze getaluitbreidingen. Het centrale instrument voor onze analyse is een mysterieus fenomeen van onze afbeeldingen, genaamd matching, dat recentelijk is waargenomen en gebruikt om verschillende andere families van afbeeldingen te begrijpen die getaluitbreidingen genereren.

Ons laatste hoofdstuk behandelt symmetrieën van translatieoppervlakken, objecten die worden geconstrueerd door bepaalde randen van polygonen aan elkaar te lijmen. We ontwikkelen een nieuw algoritme om translatieoppervlakken te construeren met voorgeschreven, grote symmetriegroepen. Onze ideeën worden ook gebruikt om obstakels te vinden voor de realiseerbaarheid van bepaalde symmetriegroepen van translatieoppervlakken.