20 december 2018

Elke vlok is uniek en toch gelijkvormig

De wiskundige schoonheid van sneeuwvlokken

Een symmetrische sneeuwvlok

De winter komt eraan. Waarschijnlijk gaan er binnenkort sneeuwvlokken vallen. Deze koude druppels hebben een ongelooflijk mooie, gecompliceerde en symmetrische structuur. Wat veroorzaakt deze ogenschijnlijk unieke structuren? Waarom zijn ze symmetrisch? En wat is symmetrie eigenlijk? Speciaal voor deze tijd van het jaar werpt Ana Ros Camacho, wiskundige aan de Universiteit Utrecht, licht op de structuur van deze bijzondere, kleine objecten.

Deense munt
Een Deense munt met een rotatiesymmetrisch patroon

Sneeuwvlokken draaien

“Als je de gebruikelijke zes-takkige sneeuwvlok pakt, onder een microscoop plaatst en hem 60 graden draait, lijkt het alsof er niets is veranderd”, begint Ros Camacho. “Dat noemen we symmetrie. Met andere woorden: symmetrie is de eigenschap dat iets niet verandert onder een bepaalde transformatie, zoals een rotatie van 60 graden. Er zijn veel andere objecten met eenzelfde soort symmetrie als sneeuwvlokken, die we rotatiesymmetrie noemen. Een klok zonder cijfers bijvoorbeeld, of het patroon op sommige Deense munten (zie afbeelding). De eerste keer dat ik in Denemarken was, viel de symmetrie me meteen op!”

Er zijn veel andere objecten met eenzelfde soort symmetrie als sneeuwvlokken.
Ana Ros Camacho

Symmetrie is overal

“We worden omgeven door symmetrie, en als je oplet zie je het overal”, voegt Ros Camacho enthousiast toe. “Je vindt het in de natuur, zoals de vorm van bladeren, fruit en planten. Of in architectuur, muziek en literatuur. In de wetenschap helpt symmetrie wetenschappers om veel dingen te begrijpen, zoals sommige eigenschappen van moleculen. In de wiskunde vind je symmetrie in bijna elk vakgebied, van meetkunde tot algebra. En wat dacht je van onze algemene perceptie van aantrekkelijkheid? Dat heeft meestal te maken met hoe symmetrisch het gezicht van een persoon is. Wat trouwens geen rotatiesymmetrie is, maar reflectiesymmetrie: de linkerhelft van een gezicht is een reflectie van de rechterhelft, en andersom.”

Verschillende soorten sneeuwvlokken
Twee sneeuwvlokken met een verschillende mate van rotatiesymmetrie

 

Anders maar vergelijkbaar

“Ze zeggen wel eens dat geen twee sneeuwvlokken hetzelfde zijn”, vervolgt Ros Camacho. “Maar de wiskunde biedt geen antwoord op de vraag waarom hun structuur zo gecompliceerd is. De vorm van een sneeuwvlok is het resultaat van allerlei factoren, zoals de temperatuur en luchtvochtigheid waarbij hij wordt gevormd. Wiskundig gezien zijn veel sneeuwvlokken best vergelijkbaar: hoewel de mate kan verschillen – misschien moet je hem een kwartslag draaien (links) in plaats van eenzesde (rechts) – zijn vrijwel alle sneeuwvlokken rotatiesymmetrisch.”

Naar huis met kerst

“Rotatie- en reflectiesymmetrieën kunnen worden gebruikt om geometrische patronen te maken. Evenals een derde symmetrie, die translatiesymmetrie wordt genoemd”, zegt Ros Camacho. “Die vind je bijvoorbeeld op behang of tegels. En hoewel het aantal geometrische patronen eindeloos lijkt, hebben wiskundigen het verbazingwekkende feit bewezen dat er slechts zeventien unieke patronen zijn. Dat betekent dat elk tweedimensionaal geometrisch patroon is afgeleid van een van deze zeventien patronen. De Spaanse stad Granada heeft de zeer zeldzame plek waar je alle zeventien patronen kunt vinden: het Alhambra, dat voor mij als wiskundige uit Andalusië extra bijzonder is. Ik probeer het elk jaar te bezoeken als ik met kerst naar huis ga.”

Alhambra, Granada
Geometrische patronen in het Alhambra